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实分析中三个概念的教学处理

时间:2013-12-12    文章来源:作者投稿    分类:学报论文范文

广西十一选五复试胆拖 www.0qot.cn 本文成功发表于阜阳师范学院学报(自然科学版) 2013年06月第2期,现将全文展示给大家参考和学习。

1点集测度与区间长度

现介绍关于区间体积的两个引理,只述而不证。

引理1若UIiUI'i(Ii与I'i皆为半开区间),Ir∩Is=,I'r∩I's=(r≠s),则Σ|Ii|≤Σ|I'i|,这里|Ii|,|I'i|分别表示Ii,I'i的体积。
引理2(区间体积加性定理)若I=UIi,Ir∩Is=(r≠s),则|I|=Σ|Ii|。先就一维情形来讨论。

由于R1中开集恒可表为可列个互不相交的半开区间之并,故可得定义1设开集G=∪∞k=1Ik,Ik(k=1,2,…)为互不相交的半开区间,则它们的长度之和Σ∞k=1|Ik|称为G的勒贝格测度,简称L测度,记作mG=Σ∞k=1|Ik|。

由定义1,可知凡开集皆L可测,开区间当然L可测。

例1设I=(a,b〗,则开区间(I)=(a,b)的L测度等于I的长度,从而等于(I)的长度,简言之,开区间的L测度等于它的长度。
证设(I)=∪Jj,Jr∩Js=(r≠s),取IN=a,b-(1]N,于是IN∪JjI,则由引理1,|I|≥Σ|Ji|≥|IN|= b-1N-aN→→∞b-a=|I|,故Σ|Jj|=|I|,即m(I)=|I|=|(I)|。由于开集与闭集的差集是开集,故可得:定义2设F为闭集,G为开集,且FG,则称mG-m(G-F)为F的L测度,即mF=mG-m(G-F)。

由定义2,可知凡闭集L皆可测,闭区间当然L可测。例2设I=(a,b],则闭区间[I]=[a,b]的L测度等于I的长度,从而等于[I]的长度,简言之,闭区间的L测度等于它的长度。证令(IN)=a-1N,b+(1)N,则[I](IN),由定义2,m[I]=m(IN)-m((IN)-[I])=m(IN)-m a-1N((,a)∪(b,b+1))N,而a-1N(,a)∩(b,b+1)N=,由引理2 m[I]=i,m(IN)-m a-1N((,a)+m (b,b+1))N,由例1 m[I]=b-a+2N-1N+(1)N=b-a=|I|=|[I]|。

定义3设ER1,则m*E=sup{mF|FE,F为闭集}及m*E=inf{mG|GE,G为开集}分别称为E的L内测度与L外测度。若m*E=m*E,则称E为L可测集,并称mE=m*E=m*E为E的L测度。

例3设半开区间I=(a,b〗,则I为L可测集,且mI=|I|。证令[I]=a+1N[,b],(I)=(a,b+1)N,则m*E=sup{m[I]l[I]I}=sup m a+1N{[,b ]l[I]I}=sup b-a-1N{|[I]I}=b-a,m*E=inf{m(I)|(I)I}=inf m a,b+(1]N{l[I]I}=inf b-a+1N{|(I)I}=b-a,由定义3,I=(a,b]为L可测集,且mI=b-a=|I|。

综合例1,2,3,可得任何区间I都是L可测的,且mI=|I|。由此可知,R1中点集测度概念是区间长度概念的推广。n维空间R″中点集测度定义可类似引入,并也可证明区间测度等于其体积,从而可见,点集测度概念是区间体积概念的推广。特别地,R2中区间测度等于矩形面积,点集测度概念是矩形面积概念的推广,R3中区间测度等于长方形体体积,点集测度概念是长方体体积概念的推广。

2下方图形与曲边梯形下方图形也是实变函数中的一个重要概念,在教学中如果直接引入,可能会使部分学生觉得不好理解,难以接受。而曲边梯形是数学分析中的大家熟知的概念。如果从曲边梯形定义出发逐步推广得到下方图形定义,效果定会看好。

设f(x)为闭区间[a,b]上的连续函数[1],且f(x)≥0。由曲线y=f(x),直线x=a,x=b以及x轴所谓成的平面图形,称为曲边梯形,也可称f(x)在[a,b]上的下方图形其实曲边梯形或下方图形,就是平面R2中的点集{(x,y)|x∈[a,b],0≤y<f(x)}。

若将[a,b]换成n维空间R″中的闭区间[a1,b1;a2,b2;…;an,bn],则下方图形的一般情况的定义为:设f(x)=f(x1,x2,…,xn)为n维闭区间[a1,b1;a2,b2;…;an,bn]上的非负函数,则Rn+1中的点集{(x,z)|x=(x1,x2,…,xn)∈[a1,b1;a2,b2;…;an,bn],0≤z<f(x)}称为f(x)在[a1,b1;a2,b2;…;an,bn]上的下方图形。若再将n维闭区间换成一般n维点集E,则下方图形的定义,更一般情况,有:

定义4设f(x)=f(x1,x2,…,xn),是在n维空间Rn中的一个点集E上定义的非负函数,则Rn+1中的点集{(x,z)|x=(x1,x2,…,xn)∈E,0≤z<f(x)}称为f(x)在E上的下方图形,记作G(E,f)。

由上述可知,下方图形可看作是曲边梯形的推广,下方图形的测度mG(E,f)可视为曲边梯形面积的推广,从而又可由定积分的几何意义:在[a,b]上非负数函数f(x)的定积分,就是连续曲线y=f(x)≥0在[a,b]上形成的曲边梯形的面积。

推广得到非负可测函数L积分的几何意义:第2期胡绍宗:实分析中三个概念的教学处理91设f(x)为可测集E∈R″上的非负可测函数[2],则∫Ef(x)dx=mG(E,f)。3凸集与凸多边形凸集是泛函分析中常用的一个重要概念,它比较抽象,对初学者不易理解,我认为可以从凸多边形定义讲起,然后过度到凸集定义,这样比较自然、直观,也不显得抽象了。具体来说,凸多边形是初等几何中常见的几何图形,为大家熟知的,它的含义即这样的多边形中,任意两点间连接线段都在形内。我们可以把凸多边形看作平面R2上封闭折线所围成的点集A,这样凸多边形可称为平面上凸集。摘自:学报投稿网//www.0qot.cn/

对于x=(x1,x2),y=(y1,y2)∈R2以及a∈R1,规定x+y=(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2),ax=a(x1,x2)=(ax1,ax2),则R2按上述运算成为线性空间,于是ax+(1-a)y=a(x1,x2)+(1-a)(y1,y2)=(ax1,ax2)+((1-a)y1,(1-a)y2)=(ax1+(1-a)y1,ax2+(1-a)y2),因当a=0时,ax+(1-a)y=(y1,y2),当a=1时,ax+(1-a)y=(x1,x2),故当0≤a≤1时,点ax+(1-a)y总在联接x,y两点的线段上变动,即点集{ax+(1-a)y|0≤a≤1}为联接两点x,y的线段。

因此,凸多边形定义又可写成如下形式:设x,y为多边形A中任意两点,如果线段{ax+(1-a)y|0≤a≤1}都在A中,则称A为凸多边形(或平面上凸集)。一般情形,若A不限于多边形,而为R2中一般点集,很自然可述为:设x,y为A中任意两点,如果线段{ax+(1-a)y|0≤a≤1}都在A中,则称A为凸集。更一般情形,有:定义5设E为线性空间[3],AE,如果对于A中的任意两点x,y,联接这两点的线段{ax+(1-a)y|0≤a≤1}都在A中,则称A为凸集。

上述对实分析中三个概念的处理方法,体现了我们在数学教学过程中应该遵循的普遍规律:由浅入深、由特殊到一般、由具体升发抽象。

本文通过对基于开源GIS软件的WebGIS系统架构与功能进行深入探讨和研究,选择PostGIS、Geoserver、GeoWebCache、OpenLayers等开源软件构建一个通用的型的WebGIS系统。本系统具有跨平台、松耦合、低成本、高稳定性等特点,能够满足一般WebGIS系统的信息发布、浏览、查询等功能,在中小企业和科研机构有较高的应用价值,可以为企业和科研机构节约大量财力、物力,同时系统的功能和性能也完全不逊于商业WebGIS软件开发的系统。

参考文献:

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